浅谈Python描述数据结构之KMP篇


前言

  本篇章主要介绍串的KMP模式匹配算法及其改进,并用Python实现KMP算法。

1. BF算法

  BF算法,即BruceForceBruce-ForceBruce−Force算法,又称暴力匹配算法。其思想就是将主串S的第一个字符与模式串T的第一个字符进行匹配,若相等,则继续比较S的第二个字符和T的第二个字符;若不相等,则比较S的第二个字符和T的第一个字符,依次比较下去,直到得出最后的匹配结果。

  假设主串S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB,模式串T=ABABT=ABABT=ABAB,每趟匹配失败后,主串S指针回溯,模式串指针回到头部,然后再次匹配,过程如下:

  后缀:是指除第一个字符外,字符串的所有尾部子串。
  部分匹配值(Partial(Partial(Partial Match,PM)Match,PM)Match,PM):字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度。
  例如,a′'a'′a′的前缀和后缀都为空集,则最长公共前后缀长度为0;ab′'ab'′ab′的前缀为{a}\{a\}{a},后缀为{b}\{b\}{b},则最长公共前后缀为空集,其长度长度为0;aba′'aba'′aba′的前缀为{a,ab}\{a,ab\}{a,ab},后缀为{a,ba}\{a,ba\}{a,ba},则最长公共前后缀为{a}\{a\}{a},其长度长度为1;abab′'abab'′abab′的前缀为{a,ab,aba}\{a,ab,aba\}{a,ab,aba},后缀为{b,ab,bab}\{b,ab,bab\}{b,ab,bab},则最长公共前后缀为{ab}\{ab\}{ab},其长度长度为2。
  前缀一定包含第一个字符,后缀一定包含最后一个字符。

  如果模式串3号位与主串当前位不匹配,找最长公共前后缀,指针前面的子串为"AB""AB""AB",即最长公共前后缀为空集,其长度为0,则下次匹配时将模式串1号位与主串的当前位进行比较。next[2]=0

  如果模式串5号位与主串当前位不匹配,找最长公共前后缀,指针前面的子串为"ABAA""ABAA""ABAA",即最长公共前后缀为"A""A""A",其长度为1,则下次匹配时将前缀位置移到后缀位置,即模式串2号位与主串的当前位进行比较。next[4]=1

  如果模式串6号位与主串当前位不匹配,找最长公共前后缀,指针前面的子串为"ABAAB""ABAAB""ABAAB",即最长公共前后缀为"AB""AB""AB",其长度为2,则下次匹配时将前缀位置移到后缀位置,即模式串3号位与主串的当前位进行比较。next[5]=2

  如果模式串7号位与主串当前位不匹配,找最长公共前后缀,指针前面的子串为"ABAABC""ABAABC""ABAABC",即最长公共前后缀为空集,其长度为0,则下次匹配时将模式串1号位与主串的当前位进行比较。next[6]=0

  综上,可以得到模式串的next数组,发现没有,把主串去掉也可以得到这个数组,即下次匹配时模式串向后移动的位数与主串无关,仅与模式串本身有关。

位编号 1 2 3 4 5 6 7 8
索引 0 1 2 3 4 5 6 7
模式串 A B A A B C A C
next -1 0 0 1 1 2 0 1

  next数组,即存放的是每个字符匹配失败时,对应的下一次匹配时模式串开始匹配的位置。

  如何在代码里实现上述流程呢?举个栗子,蓝色方框圈出的就是公共前后缀,假设next[j]=t

  当TjTtT_j \neq T_tTj​​=Tt​时,即模式串ttt位置与主串(并不是真正的主串)不匹配,则将下面的那个模式串移动到next[t]next[t]next[t]位置进行比较,即t=next[t]t=next[t]t=next[t],直到Tj=TtT_j=T_tTj​=Tt​或t=1t=-1t=−1,当t=1t=-1t=−1时,next[j+1]=0next[j+1]=0next[j+1]=0。这里就是t=next[2]=0t=next[2]=0t=next[2]=0,即下次匹配时,模式串的第1位与主串当前位进行比较。

  代码如下:

def getNext(substrT):
  next_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
  j = 0
  t = -1
  while j < len(substrT) - 1:
    if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
      j += 1
      t += 1
      # Tj=Tt, 则可以到的next[j+1]=t+1
      next_list[j] = t
    else:
      # Tj!=Tt, 模式串T索引为t的字符与当前位进行匹配
      t = next_list[t]
  return next_list


def KMP(substrS, substrT, next_list):
  count = 0
  j = 0
  t = 0
  while j < len(substrS) and t < len(substrT):
    if substrS[j] == substrT[t] or t == -1:
      # t == -1目的就是第一位匹配失败时
      # 主串位置加1, 匹配串回到第一个位置(索引为0)
      # 匹配成功, 主串和模式串指针都后移一位
      j += 1
      t += 1
    else:
      # 匹配失败, 模式串索引为t的字符与当前位进行比较
      count += 1
      t = next_list[t]
  if t == len(substrT):
    # 这里返回的是索引
    return j - t, count+1
  else:
    return -1, count+1

3. KMP算法优化版

  上面定义的next数组在某些情况下还有些缺陷,发现没有,在第一个图中,我们还可以跳过第3次匹配,直接进行第4次匹配。为了更好地说明问题,我们以下面这种情况为例,来优化一下KMP算法。假设主串S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB,模式串T=AAAABT=AAAABT=AAAAB,按照KMP算法,匹配过程如下:

 可以看到第2、3、4次的匹配是多余的,因为我们在第一次匹配时,主串SSS的4号位为模式串TTT的4号位就已经比较了,且T3S3T_3 \neq S_3T3​​=S3​,又因为模式串TTT的4号位与其1、2、3号位的字符一样,即T3=T2=T1=T0S3T_3=T_2=T_1=T_0 \neq S_3T3​=T2​=T1​=T0​​=S3​,所以可以直接进入第5次匹配。

  那么,问题出在哪里???我们结合着next数组看一下:

位编号 1 2 3 4 5
索引 0 1 2 3 4
模式串 A A A A B
next -1 0 1 2 3

  问题在于,当TjSjT_j \neq S_jTj​​=Sj​时,下次匹配的必然是Tnext[j]T_{next[j]}Tnext[j]​与SjS_jSj​,如果这时Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]​=Tj​,那么又相当于TjT_jTj​与SjS_jSj​进行比较,因为它们的字符一样,毫无疑问,这次匹配是没有意义的,应当将next[j]next[j]next[j]的值直接赋值为-1,即遇到这种情况,主串与模式串都从下一位开始比较。

  所以,我们要修正一下next数组。

  大致流程和上面求解next数组时一样,这里就是多了一个判别条件,如果在匹配时出现了Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]​=Tj​,我们就将next[j]更新为next[\Big[[next[j]]\Big]],直至两者不相等为止(相当于了迭代)。在代码里面实现就是,如果某个字符已经相等或者第一个next[j]数组值为-1(即t=1t=-1t=−1),且主串和模式串指针各后移一位时的字符仍然相同,那么就将当前的next[j]值更新为上一个next[j]数组值,更新后的数组命名为nextval

  代码如下:

def getNextval(substrT):
  nextval_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
  j = 0
  t = -1
  while j < len(substrT) - 1:
    if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
      j += 1
      t += 1
      if substrT[j] != substrT[t]:
        # Tj=Tt, 但T(j+1)!=T(t+1), 这个就和next数组计算时是一样的
        # 可以得到nextval[j+1]=t+1
        nextval_list[j] = t
      else:
        # Tj=Tt, 且T(j+1)==T(t+1), 这个就是next数组需要更新的
        # nextval[j+1]=上一次的nextval_list[t]
        nextval_list[j] = nextval_list[t]
    else:
      # 匹配失败, 模式串索引为t的字符与当前位进行比较
      t = nextval_list[t]
  return nextval_list

  对KMP的优化其实就是对next数组的优化,修正后的next数组,即nextval数组如下:

位编号 1 2 3 4 5
索引 0 1 2 3 4
模式串 A A A A B
nextval -1 -1 -1 -1 3

  下面就测试一下:

if __name__ == '__main__':
  S1 = 'ABACABAB'
  T1 = 'ABAB'
  S2 = 'AAABAAAAB'
  T2 = 'AAAAB'

  print('*' * 50)
  print('主串S={0}与模式串T={1}进行匹配'.format(S1, T1))

  print('{:*^25}'.format('KMP'))
  next_list1 = getNext(T1)
  print('next数组为: {}'.format(next_list1))
  index1_1, count1_1 = KMP(S1, T1, next_list1)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index1_1, count1_1))

  print('{:*^25}'.format('KMP优化版'))
  nextval_list1 = getNextval(T1)
  print('nextval数组为: {}'.format(nextval_list1))
  index1_2, count1_2 = KMP(S1, T1, nextval_list1)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index1_2, count1_2))

  print('')
  print('*' * 50)
  print('主串S={0}与模式串T={1}进行匹配'.format(S2, T2))

  print('{:*^25}'.format('KMP'))
  next_list2 = getNext(T2)
  print('next数组为: {}'.format(next_list2))
  index2_1, count2_1 = KMP(S2, T2, next_list2)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index2_1, count2_1))

  print('{:*^25}'.format('KMP优化版'))
  nextval_list2 = getNextval(T2)
  print('nextval数组为: {}'.format(nextval_list2))
  index2_2, count2_2 = KMP(S2, T2, nextval_list2)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次数: {}'.format(index2_2, count2_2))

  运行结果如下:

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